FS FT 傅里叶级数/变换 基础知识归纳 公式推导

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

• 概念
• 推导
  • 傅里叶级数推导
  • 复数形式傅里叶级数推导
  • 傅里叶变换推导
• 性质
  • 线性性质
  • 尺度变换性质
  • 对称性
  • 频移性质
  • 微分关系
  • 时域/频域卷积定理
  • Parseval 定理以及 Plancherel 定理
• 参考文章

概念

一般情况下，若“傅里叶”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶”。

• 傅里叶级数 (Fourier Series) - 周期性连续信号傅里叶级数
  • 所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。
• 傅里叶变换 (Fourier Transform) - 非周期性连续信号傅里叶变换
  • 非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是从 0 到无穷大任意频率
  • 而不是像傅里叶级数一样由离散的谐波分量组成。

推导

傅里叶级数推导

满足狄利克雷条件时，周期信号能够被展开成傅里叶级数。

其中，狄利克雷条件的定义如下：

• 在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点。
• 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
• 在一周期内，信号是绝对可积的。

现假设一函数 $f(t)$ 由一个直流分量和若干余弦函数组成：

$$f(t)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \cos (n \omega t+\varphi)$$

经过三角函数变换有：

$$f(t)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[c_{n} \cos \varphi \cos (\mathrm{n} \omega \mathrm{t})-c_{n} \sin \varphi \sin (\mathrm{n} \omega \mathrm{t})\right]$$

令：

$$\left\{ \begin{aligned} a_{n} &=c_{n} \cos \varphi \\ b_{n} &=-c_{n} \sin \varphi \end{aligned} \right.$$

得：

$$f(t)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (\mathrm{n} \omega \mathrm{t})+b_{n} \sin (\mathrm{n} \omega \mathrm{t})\right]$$

频率不同的三角函数相乘在一个周期内的积分必定为 0。
因此两边同时乘以一个 $\sin(k\omega t)$ 并积分
有此原理可得：

$$\left\{ \begin{aligned} b_{n}&=\frac{2}{T} \intop_{T} f(t) \sin (\mathrm{n} \omega \mathrm{t}) \mathrm{dt} \\ a_{n}&=\frac{2}{T} \intop_{T} f(t) \cos (\mathrm{n} \omega \mathrm{t}) \mathrm{dt} \end{aligned} \right.$$

不好理解就看 这里 (opens new window)

同时，通过以下公式可以得知傅里叶级数与波幅相位之间的关系

$$\left\{ \begin{aligned} c_{n} &=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} \\ \varphi &=\arctan \left(-\frac{b_{n}}{a_{n}}\right) \end{aligned} \right.$$

$c_0$ 呢？注意：$b_0=0$
通过对 $f(t)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (\mathrm{n} \omega \mathrm{t})+b_{n} \sin (\mathrm{n} \omega \mathrm{t})\right]$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上积分， 可得：

$$c_0=\frac{a_0}{2}$$

于是有

$$f(t) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (\mathrm{n} \omega \mathrm{t})+b_{n} \sin (\mathrm{n} \omega \mathrm{t})\right]$$

其中

$$\left\{ \begin{aligned} b_{n}&=\frac{2}{T} \intop_{T} f(t) \sin (\mathrm{n} \omega \mathrm{t}) \mathrm{dt} \\ a_{n}&=\frac{2}{T} \intop_{T} f(t) \cos (\mathrm{n} \omega \mathrm{t}) \mathrm{dt} \end{aligned} \right.$$

复数形式傅里叶级数推导

利用欧拉公式以及频率等公式：

$$\left\{ \begin{aligned} e^{j\theta}&=\cos(\theta)+j\sin(\theta) \\ \theta&=\omega t=\frac{2\pi}{T}t \end{aligned} \right.$$

得：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \frac{e^{\mathrm{jn} \omega t}+e^{-j n \omega t}}{2}+b_{n} \frac{e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega t}-e^{-j n \omega t}}{2 j}\right]$$

进一步化简可以得到：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{\left(a_{n}-j b_{n}\right)}{2} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega t}+\frac{\left(a_{n}+j b_{n}\right)}{2} e^{-j n \omega t}\right]$$

注意有：

$$\left\{ \begin{aligned} &a_{-n}=\frac{2}{T} \intop_{T} f(t) \cos (-n \omega t) \mathrm{dt}=a_{n}\\ &b_{-n}=\frac{2}{T} \intop_{T} f(t) \sin (-n \omega t) d t=-b_{n} \end{aligned} \right.$$

进一步得：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{\left(a_{n}-j b_{n}\right)}{2} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega t}+\frac{\left(a_{-n}-j b_{-n}\right)}{2} e^{-j n \omega t}\right]$$

注意 $a,b$ 下标以及 $b_0=0$

$$\begin{aligned} f(t) &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(a_{n}-j b_{n}\right)}{2} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega t}+\sum_{-\infty}^{-1} \frac{\left(a_{n}-j b_{n}\right)}{2} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega t} \\ f(t) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\left(a_{n}-j b_{n}\right)}{2} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega \mathrm{t}} \\ \end{aligned}$$

设

$$A_{n} =\frac{\left(a_{n}-j b_{n}\right)}{2}$$

得到复数形式傅里叶级数：

$$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} A_{n} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega \mathrm{t}}$$

两边同时乘以一个 $e^{- \mathrm{j} \mathrm{k} \omega \mathrm{t}}$ ，并对它们在一个周期内进行积分

$$\intop_{T} f(t) e^{-j k \omega t} d t=\intop_{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} A_{n} e^{j(n-k) \omega t} d t$$

由正交性推论可知，当 $n$ 与 $k$ 不相等时，积分结果必定为 0，仅当 $n=k$ 时，右表达式有值，因此，推导出

$$\intop_{T} f(t) e^{-j n \omega t} d t= A_n T$$

即

$$A_n = \frac{1}{T} \intop_{T} f(t) e^{-j n \omega t} d t$$

通过求 $A_n T$ 的模，可求得该频率波的幅值的一半

$$|A_n|=\frac{1}{2} \sqrt{a_n^{2}+b_{n}^{2}}=\frac{1}{2} c_{n}$$

而通过对其虚部与实部反正切，就可以求得该频率波的相位。

写在一起：

$$\left\{ \begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} A_{n} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega \mathrm{t}} \\ A_n &= \frac{1}{T} \intop_{T} f(t) e^{-j n \omega t} d t \end{aligned} \right.$$

傅里叶变换推导

由于积分表达式的累加形式为：

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{h\rightarrow0} \sum_{n=0}^{(b-a)/h} f(a+n\cdot h)\cdot h$$

其中 $h$ 为步长。

同理，令 $\omega_0$ 为步长

$$\left\{ \begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} A_{n} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega_0 \mathrm{t}} \\ A_n &= \frac{1}{T} \intop_{T} f(t) e^{-j n \omega_0 t} d t \end{aligned} \right. \\ \Downarrow \\ \left\{ \begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{\mathrm{j} \mathrm{n} \omega_0 \mathrm{t}} \\ F_n &= \intop_{T} f(t) e^{-j n \omega_0 t} d t \end{aligned} \right. \\ \Downarrow \\ T \rightarrow \infin, \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \rightarrow 0, \\n\omega_0\rightarrow\omega, \quad \omega_0 = d\omega \\ \Downarrow \\ \left\{ \begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}} \\ F(\omega) &= \int_{-\infin}^{+\infin} f(t) e^{-j \omega t} d t \end{aligned} \right. \\ \Downarrow \\ \left\{ \begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{T} \frac{T}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}} \frac{2\pi}{T} \\ F(\omega) &= \int_{-\infin}^{+\infin} f(t) e^{-j \omega t} d t \end{aligned} \right. \\ \Downarrow \\ \left\{ \begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}} d\omega \\ F(\omega) &= \int_{-\infin}^{+\infin} f(t) e^{-j \omega t} d t \end{aligned} \right. \\$$

其中有谐波分量 $n\omega_0$ 趋近于圆频率 $\omega$。

$f(t)$ 即为时间域函数，$F(\omega)$ 即为频域函数

注意有 系数 $\dfrac{1}{2\pi}$ 可根据形式转移到 $F(\omega)$ 方程中，或两式各 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$

性质

线性性质

傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。

假设两函数为 $f(x)$ 和 $g(x)$; 傅里叶变换为 $\mathcal{F[\quad]}$，$a$ 和 $b$ 为任意常系数，则有

$$\mathcal{F}[af+bg] = a\mathcal{F}[f] + b\mathcal{F}[g]$$

尺度变换性质

若函数 $f(x)$ 的傅里叶变换为 $F(x)$，则对任意的非零实数 $a$，函数 $f(ax)$ 的傅里叶变换 $F(ax)$ 存在，且等于

$$F(ax) = \frac{1}{|a|}F(\frac{x}{a})$$

对于 $a>0$ 的情形，上式表明，若将 $f(x)$ 的图像沿横轴方向压缩 $a$ 倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽 $a$ 倍，同时高度变为原来的 $\dfrac{1}{a}$。对于 $a<0$ 的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。

对称性

若函数 $f(x)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega)$，则存在

$$\mathcal{F}(F(x))=2 \pi f(-\omega)$$

频移性质

若函数 $f(x)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega)$，则对任意实数 $\omega_0$，函数 $f_{\omega_{0}}(x)=f(x) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega_{0} x}$ 也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换 $F_{\omega_0}(\omega)$ 等于

$$F_{\omega_{0}}(\omega)=F\left(\omega-\omega_{0}\right)$$

也就是说，$F_{\omega_{0}}(\omega)$ 可由 $F(\omega)$ 向右平移 $\omega_{0}$ 得到。

微分关系

若函数 $f(x)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega)$，且其导函数 $f'(x)$ 的傅里叶变换存在，则有

$$\mathcal{F}(f'(x))=i\omega F(\omega)$$

即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 $i\omega$。更一般地，若 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^n(x)$ 的傅里叶变换存在，则

$$\mathcal{F}\left[f^{(n)}(x)\right]=(\mathrm{i} \omega)^{n} F(\omega)$$

即 $n$ 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 $(i\omega)^n$。

时域/频域卷积定理

见 卷积定理

Parseval 定理以及 Plancherel 定理

若函数 $f(x)$ 以及 $g(x)$ 平方可积，二者的傅里叶变换分别为 $F(\omega)$ 与 $G(\omega)$，则有

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) g^{*}(x) d x=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) G^{*}(\omega) d \omega$$

上式被称为 Parseval 定理。特别地，对于平方可积函数 $f(x)$，有

$$\int_{-\infty}^{-\infty}|f(x)|^{2} d x=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^{2} d \omega$$

上式被称为 Plancherel 定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间 $L^2$ 上的一个运算符（若不考虑因子 $\dfrac{1}{2\pi}$）。

参考文章

本文参考并基于
百度百科 - 傅里叶变换 (opens new window)
傅里叶变换推导详解 - DBinary (opens new window)
傅里叶变换（CTFT）的性质及证明 - Norstc (opens new window)
傅里叶变化基础：CTFS, CTFT, DFT, DTFT - 一只小火龙 (opens new window)
傅里叶变换和傅里叶级数的区别与联系 - yangyuwen_yang (opens new window)
傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？- furious (opens new window)
傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导 (opens new window)
傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导 (opens new window)
整理修改。

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