笔记：理想对流层顶的 Boussinesq 动力学

TODO : 未完待续, 仔细读, 还没理解明白呢

准地转理论（QG）可以为对流层顶气流做出一定的解释。 但 Asselin（2016）表明，这种简化的动力框架是有出入的。 在分层快速变化（例如对流层顶特征的变化）附近，QG 气流会形成静态不稳定的条件。 由此一个新的简单但是自洽的 Boussinesq 被提出。

Boussinesq dynamics of an idealized tropopause - 原文地址 (opens new window)

• QG 理论的缺陷
• Boussinesq 动力学
• 对流层顶移位
• 数值模拟
• Discussion

QG 理论的缺陷

在准地转近似平衡的条件下，可以利用潜在涡度分布，以推断所有其他动力学变量（霍斯金斯，1985 年）。 Asselin（2016 年）表明，对流层顶附近只有非常弱的 QG 气流是自洽的。 在分层 (stratification) 边界存在急剧过渡的情况下，QG 动力学产生的扰动浮力在垂直方向上具有相当大的梯度。 小的垂直尺度表示较大的 Froude 数（惯性力和重力效应之比）。 对于实际的大气参数，不仅 QG 被破坏，而且还会产生静力不稳定条件。

Boussinesq 动力学

与 QG 相比，Boussinesq 动力学保留了扰动浮力相关的垂直对流的影响。 $B_z$ 的演化方程可写为

$$\frac{Db_z}{Dt} + (\bold{u}_z \cdot \nabla)b = -w_z(N^2 + b_z) - w(N^2 + b_z)_z \tag{3}$$

在 Rossby 和 Froude 数相对较小的情况下，进行尺度分析，以便获得对流层顶 Boussinesq 动力简化特征。 更准确地说，研究情况 $Ro \sim Fr \sim \epsilon$，其中 $Ro = \dfrac{U}{fL}$ 为罗斯贝数，$Fr = \dfrac{U}{NH}$ 为弗劳德数，$f$ 是科里奥利参数，$U$ 和 $L$ 是特征速度和水平尺度，$\epsilon \equiv \dfrac{h}{H}$ 是表征分层跳跃的无量纲高度尺度。

进一步假设速度场在垂直方向上平稳变化 $\bold{u}_z \sim \dfrac{\bold{u}}{H}，\bold{w}_z \sim \dfrac{\bold{w}}{H}$，但是浮力可能会随着分层跃迁的尺度 $b_z \sim \dfrac{b}{h}$ 而变化（已通过数值模式验证）。 $b_z$ 方程式可简化为

$$\frac{Db_z}{Dt} \approx -wN_z^2 + wB_{zz} \qquad（对流层顶附近） \tag{4}$$

与 QG 相比，主要差异在于垂直对流的存在。 但更重要的是，该项不参与 $b_z$ 的增长。 为了明确说明这一点，可以用总的三维导数来写上等式：

$$\frac{db_z}{dt} \approx -wN_z^2 \qquad（对流层顶附近） \tag{5}$$

无论在 QG 还是 Boussinesq 近似下，只有通过 $wN_z^2$ 项，$b_z$ 才能强烈增长。 即，大的 $b_z$ patches 可能仅在过渡区域 $|z| < h$ 中生成。 在 QG 近似下，没有垂直对流，并且 patches 被困在该区域中。 但是，在 Boussinesq 近似中，这些 patches 向远离过渡区域（唯一可以发展的地方）方向移动。 因此，我们希望 Boussinesq 动力学能够减少静态不稳定性的趋势。

进一步定量考虑有

原始动力框架下，$b_z$ 的增长发生在特征时间范围内 —— $\tau_1= \dfrac{L}{U}$。 即期望垂直速度平均以 $\tau_1$ 时间为界改变符号。 但是，在 Boussinesq 动力学中，垂直对流可能将 $b_z$ patches 带出过渡区域。 在这种情况下，当 patches 离开该区域时，即在特征停留时间 $\tau_2= \dfrac{h}{W}$ 之后，发展停止。

假设垂直速度 $W \sim \dfrac{Ro U H}{L}$ 为标准 QG scaling，则时间尺度与以下各项有关：

$$\tau_2 = (\frac{\epsilon}{Ro})\tau_1 \tag{6}$$

我们对方程 (5) 进行尺度分析。

假设 $b_z$ 初始很小，我们可以在发展期结束时 ($\tau \equiv min(\tau_1，\tau_2)$) 得到稳定性的定量估计：

$$\frac{\left|b_{z}\right|}{N^{2}} \sim \frac{W \tau}{h}=\left\{\begin{array}{ll} R o / \epsilon & \text { if } R o<\epsilon \\ 1 & \text { if } R o>\epsilon \end{array}\right. \tag{7}$$

同样，浮力的预期特征垂直尺度 $\gamma$ 可估算为

$$\gamma \sim\left|\frac{b}{b_{z}}\right| \sim \frac{h \tau_{1}}{\tau}=\left\{\begin{array}{ll} h & \text { if } R o<\epsilon \\ h(R o / \epsilon) & \text { if } R o>\epsilon \end{array}\right. \tag{8}$$

如果 $Ro < \epsilon$，则发展时间由 $\tau_1$ 给出。 也就是说，垂直对流太弱，无法将 $b_z$ patches 推离增强区域。 与 QG 情况一样，浮力会发展为 h 尺度特征，但气流是如此之弱，以至于仍保持静态稳定。 有趣的是，仅当 $Ro \ll \epsilon$ 时，QG 近似才严格有效。 然而，在 $Ro > \epsilon$ 的更相关的区域中，垂直对流强度足以将 $b_z$ pacthes 推离过渡区域。 因此，在特征时间 $\tau_2$ 之后停止增长。 有趣的是，尺度分析表明负 pacthes 离开强化区域时具有边际稳定性。 相比之下，同样强烈的 QG 气流将满足静态不稳定的必要条件。 因此，Boussinesq 动力学抑制了 $\epsilon < Ro \ll 1$ 范围内的静态不稳定密度分布的发展。

对流层顶移位

以上分析也揭示了对流层顶位移，$\eta$, 我们将其定义为总分层 (stratification) 达到基本状态平均值的高度：

$$N^2(\eta) + b_z(x,y,\eta,t) \equiv N_0^2 \tag{9}$$

其中 $N_0 = N(0)$。 扰动浮力取决于所有空间和时间变量，因此 $\eta$ 是随时间变化的二维面。 在地球大气层中，对流层顶上 $N^2$ 的变化量与 $N^2$ 本身相当（见表 1）。

$$Table 1: Key parameters of the numerical simulations. \\ \begin{aligned} \hline \hline Domain size \left(\mathrm{km}^{3}\right) \qquad & 15000 \times 15000 \times 20 \\ Frequencies \left(\mathrm{s}^{-1}\right) \qquad & N_{t}=0.01, \quad N_{s}=0.02, \quad N_{0}=\left(N_{t}+N_{s}\right) / 2, \quad f=0.0001 \\ Resolution \qquad & N_{x}=N_{y}=N_{z}=256 \\ Initial energy peak \qquad & k_{H}^{i}=5, \quad k_{z}^{i}=1 \\ Grid spacing \qquad & \Delta x=\Delta y=\left(N_{0} k_{H}^{i} / f k_{z}^{i}\right) \Delta z, \quad h=2 \Delta z \\ \hline \hline \end{aligned}$$

这样，当 $b_z \sim N^2$ 时，预计对流层顶位移很大。 根据以上分析，当 $\epsilon < Ro \ll 1$ 时，$b_z$ 增长到可比较的量纲。 因此，期望对流层顶的位移近似匹配这些结构的位置。 平均而言，垂直对流会将这些结构推过特征距离

$$|\eta| \sim \tau_{1} W=R o H . \quad(\epsilon<R o \ll 1) \tag{10}$$

因此，在此低 Ro 范围内，我们预计对流层顶位移的幅度将随 Rossby 数而增加。 在非常弱的气流的限制下，$Ro < \epsilon$，预计无对流层顶位移。

数值模拟

为了测试以上分析，我们对各种气流强度 U 进行 Boussinesq 方程的数值积分，并将其与 QG 控制运行进行比较。 该模型使用平滑的地转平衡的初始条件进行初始化，该初始条件叠加在快速变化的背景分层剖面上。 Rossby 和 Froude 数基于初始能量分布的水平和垂直长度尺度。 设置表 1 中列出的初始条件和参数，使所有的模拟 $Ro = Fr$。 气流在高粘度的影响下自由衰减。 缺少垂直扩散，以便于与模型的 QG 版本进行比较。 图 1 显示了 $b_z$ 的早期演变以及相关的对流层顶位移。

Discussion

本分析假设 Rossby 和 Froude 数与较小的无量纲对流层顶宽度可比。 未来的工作还将考虑更真实的机制。 例如，接近对流层顶气流最好用强风来表示，例如 $U \sim 10 m/s$。