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数学物理 笔记

2021/6/23 数学物理

对知乎专栏 数学物理连载 (opens new window) 学习的记录，由于是一名非数学系学生，对许多概念表示懵懵懂懂，需要额外的查阅，故记录成文。

# 一个有趣的导数

ex=∑n=0∞(ix)nn!e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i x)^{n}}{n !}

# 平面旋转群 SO(2)

[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]

# 作为 Abel 群（交换群）的平面旋转群

:::tips 疑问 TODO 什么是 Abel 群 :::

实数上的加法构成一个 Abel 群，称为加群 R(+,0)\mathbb{R(+,0)}。∀θ∈R\forall \theta \in \mathbb{R} ，可以按如下形式构成平面旋转变换矩阵：

[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]

这类矩阵的全体集合记为 SO(2)SO(2) 。 ∀α,β∈R\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} 两个旋转的合成等同于分别旋转，且可以交换旋转顺序，加群 R(+,0)\mathbb{R(+,0)} 所具有的交换性，在 SO(2)SO(2) 中也得到保持。

# 平面旋转群与其它群的同构关系

:::tips 疑问 TODO 什么是同构关系和同态 :::

群 SO(2)(⋅,I)SO(2)(\cdot,I) 与实数加群 R(+,0)\mathbb{R(+,0)} 同构。根据同构的定义，这两个群之间存在可以保持群结构的同态映射。一般而言，同构就是单满映射的同态。具体讲，根据前面的计算，可以证明存在一个映射：

ρ:R→SO(2)θ↦ρ(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{aligned} &\rho: \mathbb{R} \rightarrow S O(2) \\ &\theta \mapsto \rho(\theta)=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \end{aligned}

单位元映射到单位元：

0↦ρ(0)=[cos⁡0−sin⁡0sin⁡0cos⁡0]=I0 \mapsto \rho(0)=\left[\begin{array}{cc} \cos 0 & -\sin 0 \\ \sin 0 & \cos 0 \end{array}\right]=I

逆元映射到逆元：

−θ↦ρ(−θ)=−[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]-\theta \mapsto \rho(-\theta)=-\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]

保持可交换的二元运算：

(α+β)↦ρ(α+β)=[cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α][cos⁡β−sin⁡βsin⁡βcos⁡β](\alpha+\beta) \mapsto \rho(\alpha+\beta)=\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right]

更严格地讲，以上写为三角函数矩阵形式的矩阵集合，是平面旋转群的一个自然表示。

:::tips 疑问 TODO 什么是自然表示 :::

此外和以下群也是同构的：

{eiθ∣θ∈R}(⋅,1)\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\right\}(\cdot, 1)

其中的乘法为复数乘法。类似可以证明存在一个映射：

:::tips 疑问 TODO 什么是复数乘法 :::

τ:R→{eiθ∣θ∈R}θ↦τ(θ)=eiθ\begin{aligned} &\tau: \mathbb{R} \rightarrow\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\right\} \\ &\theta \mapsto \tau(\theta)=e^{i \theta} \end{aligned}

单位元映射到单位元：

0↦τ(0)=ei⋅0=10 \mapsto \tau(0)=e^{i \cdot 0}=1

逆元映射到逆元：

−θ↦τ(−θ)=e−iθ-\theta \mapsto \tau(-\theta)=e^{-i \theta}

保持可交换的二元运算：

(α+β)↦τ(α+β)=ei(α+β)=eiα⋅eiβ(\alpha+\beta) \mapsto \tau(\alpha+\beta)=e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i \alpha} \cdot e^{i \beta}

# 映射的合成与整数次幂函数

根据定义，任意群 G(⋅,0)G(\cdot,0) 的二元群运算 ⋅\cdot 都是封闭结合的。∀g∈G,n∈N\forall g \in G, n \in \mathbb{N} 可定义：

gn=g⋅g⋅g⋯g⋅g=∏i=1ngg^n = g \cdot g \cdot g \cdots g \cdot g = \prod_{i=1}^{n} g

则

g↦gng \mapsto g^n

G(+,0)G(+,0) 上体现为

θ↦nθ\theta \mapsto n \theta

SO(2)(⋅,I)SO(2)(\cdot,I) 上体现为

[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]↦[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]n=[cos⁡nθ−sin⁡nθsin⁡nθcos⁡nθ]\begin{aligned} &{\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \mapsto\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array}\right]} \end{aligned}

{eiθ∣θ∈R}(⋅,1)\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\right\}(\cdot, 1) 上体现为

θ↦=∏i=1neiθ=einθ\theta \mapsto=\prod_{i=1}^{n} e^{i \theta}=e^{i n \theta}

# 任意群上的指数函数

:::tips 疑问 TODO 整数次幂函数怎么来的，或许参考 上方 :::

前面讨论的整数次幂函数：

θ∼[cos⁡nθ−sin⁡nθsin⁡nθcos⁡nθ]∼einθ\theta \sim\left[\begin{array}{cc} \cos n \theta & -\sin n \theta \\ \sin n \theta & \cos n \theta \end{array}\right] \sim e^{i n \theta}

可以视为某种特殊的矩阵结构和指数函数结构的对应，而指数函数有着特别简便的处理方式。我们希望对任意群 G(∗,0)G(*,0) 实现类似的指数化操作：

e:G↦GX↦eXe: G \mapsto G \\ X \mapsto e^{X}

为了构造这种映射，我们注意到整数次幕可以实现群中的自映射，而指数函数又具有整数次幕级数求和的形式，于是启发我们按照级数和定义：

eX=∑k=0∞Xkk!e^{X}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{X^{k}}{k !}

显然，过去定义在 C\mathbb{C} 上的指数函数，延拓到了更一般的空间，且保持了相当多的优秀的属性。

# 群

参考 (opens new window)

在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的代数结构，并且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质，分别是封闭性、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆元素。

如果一个非空集合 G 上定义了一个二元运算 ∙\bullet ，满足如下性质：

  1. 封闭性，即对于 ∀a,b∈G\forall a, b \in G ，有 a∙b∈Ga \bullet b \in G ;
  2. 结合律，即对于 ∀a,b,c∈G\forall a, b, c \in G ，有 (a∙b)∙c=a∙(b∙c)(a \bullet b) \bullet c=a \bullet(b \bullet c) ；
  3. 存在 e∈Ge \in G ，使得 ∀a∈G\forall a \in G ，有 e∙a=a∙e=ae \bullet a=a \bullet e=a ；
  4. 对于 ∀a∈G\forall a \in G ，存在 ∀b∈G\forall b \in G ，使得 b∙a=a∙b=eb \bullet a=a \bullet b=e ，

则称 GG 关于运算 ∙\bullet 构成一个群（group），记为 (G,∙)(G, \bullet) ，或简记为 GG 。

上述定义中，第 (3) 条中的元素 ee 称为 单位元(identity)单位元 (identity)，第 (4) 条中的 bb 称为 aa 的 逆元(inverse)逆元 (inverse)，通常也记作 a−1a^{-1}。

只成立 (1) 的集合 GG 称为 原群(magma)原群 (magma)；
只成立 (1) (2) 的集合 GG 称为 半群(semigroup)半群 (semigroup)；
只成立 (1) (2) (3) 的集合 GG 称为 幺半群(monoid)幺半群 (monoid)。

例如，在 R3\mathbb{R}^{3} 上的向量积由于不满足结合律，无法构成半群。全体正整数对于整数加法构成半群，全体自然数对于整数加法构成幺半群，全体整数对于整数加法构成群。与上述定义等价的一种定义可以称为群的单边定义，即

  1. 封闭性，即对于 ∀a,b∈G\forall a, b \in G ，有 a∙b∈Ga \bullet b \in G ;
  2. 结合律，即对于 ∀a,b,c∈G\forall a, b, c \in G ，有 (a∙b)∙c=a∙(b∙c)(a \bullet b) \bullet c=a \bullet(b \bullet c) ；
  3. 存在 e∈Ge \in G ，使得 ∀a∈G\forall a \in G ，有 e∙a=ae \bullet a=a ；
  4. 对于 ∀a∈G\forall a \in G ，存在 ∀b∈G\forall b \in G ，使得 b∙a=eb \bullet a=e ，

则称 GG 关于运算 ∙\bullet 构成一个群（group），记为 (G,∙)(G, \bullet) ，或简记为 GG 。

上述定义中，第（3）条中的元素 ee 称为左单位元，第（4）条中的 bb 称为 aa 的左逆元。同样地，有右单位元和右逆元的半群也是群。

# SO(2) 的求导：算子谱分析和复结构

平面旋转群 SO(2) 的矩阵表示和复数表示是同构的，和实数加群也是同构的。这样我们可以让矩阵和复数都对实数求导，得到两种不同形式的导数。我们发现，一次求导和二次求导，在矩阵和复数中都出现了相似的求导算子，在这种算子上研究其特征值和特征向量，就是泛函分析的基本研究方法。此外，求导算子体现出一种特别的结构，这种结构归纳为复结构，它的两次复合映射将元素映射到其逆元。

# 群同态的导数

:::tips 疑问 TODO 什么是群同态 :::

dρdθ=ddθ[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=[−sin⁡θ−cos⁡θcos⁡θ−sin⁡θ]=[cos⁡(π2+θ)−sin⁡(π2+θ)sin⁡(π2+θ)cos⁡(π2+θ)]=[cos⁡π2−sin⁡π2sin⁡π2cos⁡π2][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]d2ρdθ2=d2dθ2[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=[−cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θ−cos⁡θ]=[cos⁡π−sin⁡πsin⁡πcos⁡π][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=−[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{aligned} \frac{d \rho}{d \theta}&=\frac{d}{d \theta}\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -\sin \theta & -\cos \theta \\ \cos \theta & -\sin \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) & -\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \\ \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) & \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc} \cos \frac{\pi}{2} & -\sin \frac{\pi}{2} \\ \sin \frac{\pi}{2} & \cos \frac{\pi}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \\ \frac{d^{2} \rho}{d \theta^{2}}&=\frac{d^{2}}{d \theta^{2}}\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc} \cos \pi & -\sin \pi \\ \sin \pi & \cos \pi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=-\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \end{aligned}

令

J=ρ(π/2)=[cos⁡π2−sin⁡π2sin⁡π2cos⁡π2]=[0−110]J=\rho(\pi / 2)=\left[\begin{array}{cc} \cos \frac{\pi}{2} & -\sin \frac{\pi}{2} \\ \sin \frac{\pi}{2} & \cos \frac{\pi}{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]

则有

J2=[0−110][0−110]=[−100−1]=−IJ^{2}=\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=-I

于是有

dρdθ=J[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=J⋅ρd2ρdθ2=−[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=J2⋅ρ\begin{aligned} &\frac{d \rho}{d \theta}=J\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=J \cdot \rho \\ &\frac{d^{2} \rho}{d \theta^{2}}=-\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=J^{2} \cdot \rho \end{aligned}

# 作为线性算子的导数

函数空间 [公式] 上线性自映射算子全体记为：

L(X):X→X\mathbf{L(X): X \rightarrow X}

前文中的两个群同态都可以视为函数空间的元素：

ρ∈X[R,SO(2)]τ∈X[R,{eiθ∣θ∈R}]\begin{aligned} &\rho \in X[\mathbb{R}, S O(2)] \\ &\tau \in X\left[\mathbb{R},\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\right\}\right] \end{aligned}

将求导视为一个算子 D=ddθD=\dfrac{d}{d\theta} ，它的作用相当于线性自映射：

D∈L[R,SO(2)]D \in L[\mathbb{R}, S O(2)] 时，对矩阵求导：

D:L[R,SO(2)]→L[R,SO(2)]ρ↦Dρ=J⋅ρρ↦D2ρ=J2⋅ρ=−ρ\begin{aligned} &D: L[\mathbb{R}, S O(2)] \rightarrow L[\mathbb{R}, S O(2)]\\ &\rho \mapsto D \rho=J \cdot \rho\\ &\rho \mapsto D^{2} \rho=J^{2} \cdot \rho=-\rho\\ \end{aligned}

D∈L[R,{eiθ∣θ∈R}]D \in L\left[\mathbb{R},\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\right\}\right] 时，对单位复数求导：

D:L[R,{eiθ∣θ∈R}]→L[R,{eiθ∣θ∈R}]τ↦Dτ=J⋅ρτ↦D2τ=i2⋅τ=−τ\begin{aligned} &D: L\left[\mathbb{R},\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\right\}\right] \rightarrow L\left[\mathbb{R},\left\{e^{i \theta} \mid \theta \in \mathbb{R}\right\}\right]\\ &\tau \mapsto D \tau=J \cdot \rho\\ &\tau \mapsto D^{2} \tau=i^{2} \cdot \tau=-\tau \end{aligned}

# 求导算子的谱分析

注意刚刚的二阶求导算子 D2D^2 :

D2:L[X]→L[X]x↦D2x=λx=−xD^2:L[X] \rightarrow L[X] x \mapsto D^2 x = \lambda x = -x

从算子谱理论的角度，这里的 [公式] 是算子 [公式] 的特征值（eigenvalue）。也就是说，如果存在这样一个特征值，并存在一个 [公式] 满足一次求导的条件：

D2x=λxD^2 x = \lambda x

那么算子 D2D^2 对 xx 作用的结果，相当于 xx 和一个常系数 λ\lambda 在进行向量缩放的结果。常见的表达方式是：

(D2−λI)x=0(D^2 - \lambda I) x = 0

在线性代数中学到的有限维谱分析，函数空间自映射的特征值也具有类似的效果。满足这一条件的 xx 也称为特征向量（eigenvector）。由于 xx 是函数空间（作为向量空间）中的一个函数（作为向量），所以 xx 就是求导算子算子 D2D^2 确定的微分方程 D2x=λxD^2 x = \lambda x 的解。

# 复结构

在上面的例子中，求导算子 DD 的作用相当于某种常值的算子，表现为：

ρ↦Dρ=J⋅ρτ↦Dτ=i⋅τρ↦D2ρ=J2⋅ρ=−ρτ↦D2τ=i2⋅τ=−τ\begin{aligned} &\rho \mapsto D \rho=J \cdot \rho \\ &\tau \mapsto D \tau=i \cdot \tau \\ \\ &\rho \mapsto D^{2} \rho=J^{2} \cdot \rho=-\rho \\ &\tau \mapsto D^{2} \tau=i^{2} \cdot \tau=-\tau \end{aligned}

在复数中：

i2=i⋅i=−1i^2 = i \cdot i = -1

而在矩阵中：

J2=[0−110][0−110]=[−100−1]=−IJ^{2}=\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=-I

常值算子 [公式] 起到了一种类似于虚数单位 [公式] 的作用，而这种作用在现代数学中是广泛存在的。

从前面讨论过的二阶求导算子谱分析的角度看：

D2:L[X]→L[X]x2↦D2x=λx=−x\begin{aligned} &D^{2}: L[X] \rightarrow L[X] \\ &x^{2} \mapsto D^{2} x=\lambda x=-x \end{aligned}

特征值 λ=−1\lambda = -1 。为了实现两次求导得到这一特征值，需要让一次求导为复结构。

# 对偶、逆变与协变

# 对偶

线性空间到域 V→FV \rightarrow \mathbb{F} 的函数的集合 [公式] ，若满足：

∀ϕ,ψ∈V∗:(ϕ+ψ)(x)=ϕ(x)+ψ(x)∀ϕ∈V∗,∀α∈F:(αϕ)(x)=αϕ(x)\begin{aligned} &\forall \phi, \psi \in V^{*}:(\phi+\psi)(x)=\phi(x)+\psi(x) \\ &\forall \phi \in V^{*}, \forall \alpha \in \mathbb{F}:(\alpha \phi)(x)=\alpha \phi(x) \end{aligned}

构成一个线性空间，称为 VV 的对偶空间。对偶空间中的元素是线性函数。 有限维的情况下，线性空间及其对偶空间维度相等。

Rn\mathbb{R^n} 可以视作 nn 维列向量表示的实数数组的集合，于是可以用相同维的行向量表示对偶空间中的线性函数。

看一个简单的例子，在域 F\mathbb{F} 上，一对 2 维对偶向量 x∈V,f∈V∗x \in V, f \in V^{*} 的共同作用为：

≪f,x≫=f(x)=fx=[f1f2][x1x2]=∑i=12fixi=fixi\ll f, x \gg=f(x)=f x=\left[\begin{array}{ll}f_{1} & f_{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]=\sum_{i=1}^{2} f^{i} x_{i}=f^{i} x_{i}

二元映射 ≪,≫\ll, \gg 是双线性映射 （也就是对两个变元都是线性的，易于验证） :

V∗×V→FV^{*} \times V \rightarrow \mathbb{F}

注意到，矩阵乘法的形式提示我们，对偶关系是相对的，即 V∗V^* 也是 VV 的对偶空间，实际上 (V∗)∗∼V(V^*)^* \sim V ，证明略。

# 逆变与协变

坐标向量 α→β\alpha \rightarrow \beta 的变换则满足：

Aα=Bβ=ATβA \alpha=B \beta=A T \beta

于是

α=Tββ=T−1α\begin{aligned} &\alpha=T \beta \\ &\beta=T^{-1} \alpha \end{aligned}

这里出现的逆矩阵，就是逆变的含义。

# 对偶基和协变

回到对偶空间中，一对 2 维对偶向量 x∈V,f∈V∗x \in V, f \in V^{*} 通过双线性映射共同作用： ≪f,x≫=fixi\ll f, x \gg=f^{i} x_{i} 给定 VV 的一组基 E={ei}E=\left\{e_{i}\right\} ，则 VV 中任意向量可以表为 v=Exv=E x 。 这组基 EE 可以通过 Kronecker 记号唯一地决定对偶空间 V∗V^{*} 中的一组基 E∗={ej}E^{*}=\left\{e^{j}\right\}, 满足：

ej(ei)=δije^{j}\left(e_{i}\right)=\delta_{i j}

其中

i=j⇒δij=1i=j \Rightarrow \delta_{i j}=1

i≠j⇒δij=0i \neq j \Rightarrow \delta_{i j}=0

这样得到的对偶空间中的基称为对偶基。

当基以 T:E→E′T : E \rightarrow E' 变化时，对偶基相对于基的变化规律是逆变的。对偶向量在对偶空间的自然基（自然基的对偶基）中的表示是不变的，类似于前面讨论的，对偶向量的坐标相对于对偶基也是逆变的。这样，两次逆变的合成，使得对偶向量的坐标相对于 TT 的变化是协变的，称为协变向量。

# 内积

对偶空间中，一对对偶向量 x∈V,f∈V∗x \in V, f \in V^{*} 通过双线性映射共同作用： ≪f,x≫\ll f, x \gg 它对两个变元都是线性的。对偶空间可以是自对偶的，泛函分析的 Riesz 引理给出了构建自对偶空间的方法。自对偶空间的双线性映射是正定且共轭对称的，则称为内积。完备的内积空间称为 Hilbert 空间。在实分析和泛函分析中常见的一个例子是 LpL^{p} 空间，即： 设 μ\mu 是 Ω\Omega 上的测度，(Ω,B,μ)(\Omega, \mathscr{B}, \mu) 是测度空间，函数 u(x)u(x) 满足在 Ω\Omega 上 ∣u(x)∣p|u(x)|^{p} 可积 (1≤p≤+∞)(1 \leq p \leq+\infty), 则这类函数的全体称为 (Ω,B,μ)(\Omega, \mathscr{B}, \mu) 上的 pp 次可积函数空间， 记作 Lp(Ω,μ)L^{p}(\Omega, \mu) 。定义内积：

⟨u,v⟩=∫Ωu(x)v(x)‾dx\langle u, v\rangle=\int_{\Omega} u(x) \overline{v(x)} d x

量子力学中常用的为平方可积的 L2L^{2} 空间。

# 内积、外积、面积、Hermite 内积、辛内积

倘若两向量正交，两向量的长度为 a>0,b>0a>0, b>0 ，则两向量形成一个矩形，面积为 $ s = ab $

倘若两向量之间的夹角为 θ\theta ，则两向量形成的平行四边形的面积为：$ s = ab sin\theta $

外积：

absinθab sin\theta

作为余面积的内积：

abcosθab cos\theta

关系：

sin2θ+cos2θ=1sin^2\theta + cos^2\theta = 1

TODO: 这里和线性代数联系一下

# 夹角的描述：共轭

前面的讨论告诉我们，外积和内积是总面积根据两向量夹角 θ\theta 进行的正交投影。夹角成为了最主要的因素。令两向量分别为：

z=x+iy=aeiα,w=u+iv=beiβz = x + iy =ae^{i\alpha}, w = u + iv = be^{i\beta}

其夹角为 θ=α−β\theta = \alpha - \beta, 这个夹角是有方向的。于是外积和内积分别成为：absinθab sin\theta和abcosθab cos\theta.（这里aa和bb为模长）

将内积和外积写成 R2\mathbb{R}^2 中的向量：

[abcos⁡(α−β)absin⁡(α−β)]=ab[cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βsin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β]\left[\begin{array}{l} a b \cos (\alpha-\beta) \\ a b \sin (\alpha-\beta) \end{array}\right]=a b\left[\begin{array}{c} \cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \end{array}\right]

这个等式右边就是 Hermit 内积定义中的共轭乘法。这个式子相当于复数运算：

abeiαe−iβ=(aeiα)(be−iβ)=z⋅wˉa b e^{i \alpha} e^{-i \beta}=\left(a e^{i \alpha}\right)\left(b e^{-i \beta}\right)=z \cdot \bar{w}

其关键之处在于对第二个变元是共轭的，从而在复数乘法中，得到了两向量的夹角。

# Hermit 内积

综上，向量 z,wz, w 之间定义运算

C×C→C\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}

(z=x+iy,w=u+iv)↦⟨z,w⟩=z⋅wˉ=(x+iy)⋅(u−iv)=(xu+yv)+i(−xv+yu)\begin{aligned} &(z=x+i y, w=u+i v) \mapsto\langle z, w\rangle=z \cdot \bar{w} \\ &=(x+i y) \cdot(u-i v)=(x u+y v)+i(-x v+y u) \end{aligned}

可以得到一个复数，其实部为向量内积、虚部为向量外积。如此定义的运算可以证明是一个复内积，称为 Hermit 内积。

既然 C∼R2\mathbb{C} \sim \mathbb{R}^2 是同构的，我们在实平面 R2\mathbb{R}^2 上构造向量：

z~=(x,y)∈R2w~=(u,v)∈R2\begin{gathered} \tilde{z}=(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \\ \tilde{w}=(u, v) \in \mathbb{R}^{2} \end{gathered}

我们注意到，这两个向量的内积就是以上 Hermit 内积的实部，而 Hermit 内积的虚部可以展开为：

−xv+yu=[xy][0−110][uv]-x v+y u=\left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right]

真正有趣的是这个形似单位矩阵却又不同的东西：

J=[0−110]J = \left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]

这个结构是一个复结构，即：

J2=[0−110][0−110]=[−100−1]=−IJ^{2}=\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]=-I

除了现在讨论的形式，Hermit 内积还可以有多维复向量的形式，以及无穷维函数空间上平方可积的形式等等。无论那种形式，其核心思想仍然是通过对其中一个变元的共轭，将两个矢量的角度构造夹角，从而能够实现某种”总面积“的正交投影。

在量子力学中，广泛出现的是波函数及其对偶空间上的 bracket 内积，它是在复平方可积空间 [公式] 上，定义了左矢 bra 和右矢 ket 一对有序向量偶，通过如上的共轭方式构成了积分形式的 Hermit 内积，形成一个 Hilbert 空间。量子力学的大量基础模型即建立在这个空间上。

# 多维 Hermit 内积和辛结构

下面考虑把 Hermit 内积推广到多维，向量 z,wz, w 之间定义运算

Cn×Cn→C\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}

约定 [][ ] 表示由内部的分量构成一个向量，令：

z=[zk]=[xk+iyk]∈Cnw=[wk]=[uk+ivk]∈Cn\begin{gathered} z=\left[z_{k}\right]=\left[x_{k}+i y_{k}\right] \in \mathbb{C}^{n} \\ w=\left[w_{k}\right]=\left[u_{k}+i v_{k}\right] \in \mathbb{C}^{n} \end{gathered}

定义多维的 Hermit 内积为：

(z,w)↦⟨z,w⟩=z⋅wˉ=[xk+iyk]⋅[uk−ivk]=(xkuk+ykvk)+i(−xkvk+ykuk)\begin{aligned} (z, w) \mapsto\langle z, w\rangle&=z \cdot \bar{w} \\ &=\left[x_{k}+i y_{k}\right] \cdot\left[u_{k}-i v_{k}\right] \\ &=\left(x^{k} u_{k}+y^{k} v_{k}\right)+i\left(-x^{k} v_{k}+y^{k} u_{k}\right) \end{aligned}

上式用到 Einstein 求和约定，得到一个复数。

既然 Cn∼R2n\mathbb{C}^n \sim \mathbb{R}^{2n} 是同构的，我们在实平面 R2n\mathbb{R}^{2n} 上构造向量：

z~=(x1⋯xn,y1⋯yn)∈R2nw~=(u1…un,v1…vn)∈R2n\begin{aligned} &\tilde{z}=\left(x_{1} \cdots x_{n}, y_{1} \cdots y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{2 n} \\ &\tilde{w}=\left(u_{1} \ldots u_{n}, v_{1} \ldots v_{n}\right) \in \mathbb{R}^{2 n} \end{aligned}

我们注意到，这两个向量的内积就是以上 Hermit 内积的实部，而 Hermit 内积的虚部可以展开为：

−xkvk+ykuk=[x1⋯xn,y1⋯yn]Jn[u1⋮unv1⋮vn]-x^{k} v_{k}+y^{k} u_{k} = \left[x^{1} \cdots x^{n}, y^{1} \cdots y^{n}\right] J_{n}\left[\begin{array}{c}u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \\ v_{1} \\ \vdots \\ v_{n}\end{array}\right]

其中

Jn=[0n−InIn0n]J_{n}=\left[\begin{array}{cc}0_{n} & -I_{n} \\ I_{n} & 0_{n}\end{array}\right]

是分块矩阵，由四个 nn 维方阵构成。这个结构和前面一维情形提到的 JJ 非常相似：

Jn2=Jn⋅Jn=[0n−InIn0n][0n−InIn0n]=[−In0n0n−In]=−IJ_{n}^{2}=J_{n} \cdot J_{n}=\left[\begin{array}{cc}0_{n} & -I_{n} \\ I_{n} & 0_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0_{n} & -I_{n} \\ I_{n} & 0_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-I_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & -I_{n}\end{array}\right]=-I

于是 JnJ_{n} 也是一个复结构。

Hermit 内积的虚部，是以复结构 JnJ_{n} 作为双线性映射来构造的，称为 symplectic 结构或辛结构。

作为实空间的产物，实内积就是数量乘法在多维的推广，我们已经理解很深入了。更有趣的是外积的结构。目前，我们将其理解为平行四边形的面积。然而，外积的交错的形式，在数学上有非常深入的探讨，它将带领我们进入 symplectic 几何也就是所谓辛几何的领域。

在详细讨论辛几何之前，我们还要了解更多关于对偶空间的知识，待我们深刻理解对偶空间上建立的最主要的代数结构——张量之后，我们将能够继续深入探讨辛结构问题。

Last Updated: 2023-10-29T08:26:04.000Z