数学物理 笔记

• 余切空间
• 函数芽：局部化等价
• 对函数芽求方向导数：余切空间
• 利用参数曲线构造复合映射
• 对参数求复合导数：类似方向导数的运算
• 切空间
• 参数曲线与函数芽
• 等价参数曲线、切空间、切向量
• 切空间的基
• 对偶空间、对偶基
• 纤维丛
• ** 向量的平移**
• 切丛和余切丛
• 纤维丛
• 回到实空间：平凡向量丛
• 流形上的光滑映射

余切空间

本讲介绍微分流形一点上的余切空间。我们借助的是前面提到的微分流形上的函数和参数曲线来得到余切空间的构造。先用函数芽进行局部化，将点附近相等的函数视作等价。然后借助上一讲构造的类似于方向导数的复合映射，得到一个方向导数为零的线性子空间，最后代数化地将余切空间定义为它诱导的商空间。

于是我们的注意力只在函数在无限接近一点时的性质，是一种局部化的处理。在谈论一点附近的函数性质时，我们用函数芽代替函数。函数芽的集合上可以定义加法和数乘运算，构造线性空间的结构。这里的加法和数乘相当于函数上相同运算后的等价化（局部化）。

进一步考察方向导数构造的某种映射的核，可以验证它构成一个线性子空间，从而可以构造商空间。以上的构造方式推广到微分流形商的函数和参数曲线的复合映射，得到余切空间。

函数芽：局部化等价

先看最简单的，定义在 上的光滑函数集合。固定点 ，其邻域上的光滑函数类记为 。我们只关心点 局部的性质。若有两函数 ，它们不必处处相等，但若存在 的开邻域 使得！[公式] (opens new window) ，或可动态理解为，当无限接近 时，会进入开邻域 ，使得两函数在其中处处相等，则两函数等价。（这里有一些拓扑的思想，回顾一下前面的课 MP6：SO(2) 的自由度、拓扑、连续、同胚、范畴 (opens new window)）

这样得到的等价类称为函数芽，记为

于是我们的注意力只在函数在无限接近 时的性质，是一种局部化的处理。在谈论一点附近的函数性质时，我们用函数芽 代替函数 。函数芽的集合 上可以定义加法和数乘运算，构造线性空间的结构。这里的加法和数乘相当于 上相同运算后的等价化（局部化）。（具体参考 [Chern 1999])

对函数芽求方向导数：余切空间

定义在 的邻域上的光滑函数 可微，限制在局部的函数芽 同样可以求！[公式] (opens new window) 处的方向导数：

结合前面 MP9：重新认识向量场：方向导数、偏导数、梯度 (opens new window) 的结论：

于是

1-形式的几何意义是具有梯度的超面元， 代表了一组相差为常数的，体现为平行超平面的线性函数，这一组线性函数求微分后得到了相同的！[公式] (opens new window)。

下面我们用方向导数诱导一个等价关系。两个函数芽 若对任何方向矢量 都具有相同的方向导数：

我们将其视为具有等价关系 。进一步，考虑一下代数结构，注意：

即：任何方向上方向导数相同的两个函数芽相差一个常数。特别考察集合：

它实际上是方向导数构造的某种映射的核 (kernel)，可以验证 构成一个线性子空间，从而可以构造商空间：

我们可以把等价关系 写为：

于是根据代数学知识，等价类：

理解为：函数芽 对映射核 商出来的是等价类 ，它代表了一组互相平行、相差为常数的局部线性的函数芽。这个几何直观和 完全一致。

现在我们理解了为什么在 [Chern 1999] 中直接给出：

为了理解这一点，我们前面用了整整三讲来做准备。

进一步，我们称：

为（线性）流形 的点 上的余切空间 (cotangent space)。函数芽的 -等价类

或者更为常见的

称为余切向量 (cotangent vector)。 是余切空间的自然基。

利用参数曲线构造复合映射

现在我们把以上 上的结果推广到微分流形。有 维光滑流形 ，固定点 ，其邻域上的光滑函数类记为 。 类似前面的方法可以构造流形一点上的函数芽，类似记号：

流形是多维的，要研究点 附近的性质，需要从所有可能的方向去穿过这一点。嵌入在流形上且穿过这一点的曲线，是方便的研究工具。在曲线上的运动也是在流形上的运动，穿过点的不同速度（对参数的导数），也体现了切向量的各种可能性。于是，引入参数曲线：

这一光滑映射是从实数的子集映射到流形的子集，这类映射的集合记为 。注意前面一直在讨论流形上的函数和函数芽。而函数本身又是流形到实数的映射，于是考虑复合映射：

参数曲线的参数空间！[公式] (opens new window) 光滑地映射到了实数 。

我们只关心点 的局部，因此可以限制在函数芽上讨论，复合映射成为：

以上几步操作，通过一个复合映射使得流形上的函数芽 间接成为参数 的函数。这样做的意义在于，流形上并没有内禀的坐标系，流形上的点需要通过参数曲线参数化。所谓参数化就是坐标化。有了坐标以后，才能在参数曲线（作为一自由度的流形）上对函数（芽）进行数学分析的研究。

对参数求复合导数：类似方向导数的运算

现在可以开始求复合导数。既然函数芽限制于 的局部，我们只考虑这一点上情况，结果是由参数曲线 和函数芽 决定的，记为：

这是一个二元映射：

类似前面的讨论，两个函数芽 若对任何方向矢量 都具有相同的复合导数：

我们将其视为具有等价关系 。进一步：

即：任何方向上方向复合导数相同的两个函数芽相差一个常数。特别考察集合：

它实际上也是复合导数构造的某种映射的核 (kernel)，可以验证 构成一个线性子空间，从而可以构造商空间：

于是，前面在 上的讨论结果原封不动地成立：

把等价关系 写为：

等价类：

理解为：函数芽 对映射核 商出来的是等价类 ，它代表了一组互相平行、相差为常数的局部线性的函数芽。这个几何直观和 完全一致：

称：

为流形 的点 上的余切空间 (cotangent space)。函数芽的 -等价类

或者更为常见的

称为余切向量 (cotangent vector)。如果给定坐标卡，其中有自然坐标 ，则！[公式] (opens new window) 是余切空间的自然基。

切空间

这一讲继续余切空间的讨论，介绍切空间。主要讨论：

• 切空间是余切空间的对偶空间，切向量是余切向量的对偶向量。
• 参数曲线决定了切向量，但参数曲线本身不是切向量。
• 参数曲线在点附近的性质产生另一种等价关系，构成切向量等价类。
• 切向量的基。
• 余切空间的对偶基。

流形的点 上的切空间 (tangent space) 是余切空间 的对偶空间，**切向量 (tangent vector) **是余切向量的对偶向量。

这样就可以算讲完了。剩下的就是闲聊了 2333。其实切空间比余切空间直观得多：

切线是从相切的点上生长出来的切空间，其中的向量都是切向量 切面是从相切的点上生长出来的切空间，其中的向量都是切向量 光滑轨迹某一时刻的速度是从当时的位置点上生长出来的切空间，速度是切向量

而且，过去我们花了很大篇幅来理解：

可以给函数求方向导数的那个东西是切向量 参数曲线可以对流形一点上的函数芽求复合导数，参数曲线在点附近的作用相当于切向量

切空间和切向量是很容易建立起几何上的理解的，不用担心大家的理解问题，所以我们在这一讲多讲些数学。

参数曲线与函数芽

回顾上一讲中引入的由参数曲线 和函数芽 决定的映射

既然可以给函数求方向导数的那个东西是切向量，对比方向导数

在方向导数中 是那个可以对函数求方向导数的东西，而在这里参数曲线 决定了一个映射 ，它可以对函数芽 求映射 ：

参数曲线 决定了切向量，但参数曲线本身不是切向量。

等价参数曲线、切空间、切向量

不同的一类参数曲线，若在 点局部有类似的性质，对任意 可以在 点得到相同的 运算结果，我们就把它们视作等价，于是这里又有了一个等价关系，记为：

称：

为流形 的点 上的切空间 (tangent space)。等价类

称为切向量 (cotangent vector)。

切空间的基

上面用曲线的等价类给出了切向量。问题是，作为向量的曲线（等价类）如何表达？

这个式子是通过单参数参数曲线表达的，不具有基的线性组合的形式。现在我们考虑给定坐标卡，其中有局部坐标 。固定其它坐标，只让坐标 变动，这样同样构成了单参数参数曲线：

于是可以求 点的偏导数：

于是形式化记为

我们把！[公式] (opens new window) 称为切空间的自然基，切向量表示为

不难相像，任意方向穿过点的曲线等价类，都可以视为以上单坐标变动构成的参数曲线效果的线性组合。

对偶空间、对偶基

过去我们提到过 中的对偶基问题，现在我们把类似的概念推广到微分流形的对偶切空间-余切空间上。

结合过去在线性空间的讨论，通过各种等价类的处理，问题已经线性化。

令切向量 在切空间的基 中表为：

令余切向量 在余切空间的基 中表为：

复合映射为

如果我们要求

以上两个 Einstein 求和（线性组合）项再做内积，通过 Kronecker 符号消去大部分，仅留下指标 的情况。那么就得到了线性空间的方向导数

和 上按照自然坐标 构成一对对偶基。

自此，经过前面几讲的处理，我们通过给微分流形的固定点线性化，把经典（线性空间）场论中许多重要的概念推广到了微分流形。

纤维丛

过去，由于我们长期在欧式空间上处理问题，我们对欧式空间的点和平移点的向量之间的微妙关系缺少认识。现在到了微分流形上，我们逐渐要将点和点上生长的向量区分开。本文介绍的纤维丛，就是数学上精确地描述如何在流形的点上生长向量，从而在流形的所有点上都长出线性空间的结构。

我们先用精确的语言阐述向量的平移。让切空间可以构造切丛，余切空间可以构造余切丛。然后，我们给出纤维丛的定义，并特别关注平凡的向量丛，这样我们可以联系到熟知的欧式空间的性质。

最后我们还讨论了流形上的光滑映射，包括微分映射和拉回映射。

原本在前面讲完了余切空间-切空间后，就应该直接开始以分析力学为例子讲物理了。在讲的过程中发现，过去许多人对 的理解产生了一些根深蒂固的观念。比如说，在 上的一点长出来的向量，和这一点本身是混淆的。过去我们所熟知的 拥有太多好的性质了，导致刚学习微分流形的时候，把很多 特有的特性想当然也带来了。

** 向量的平移**

先来个力学的例子。没有能量衰减的平面单摆，质点的运动轨迹被约束在一条圆弧上，圆弧是 维流形 。我们可以在这个流形上建立局部坐标系 描述其位置。质点运动轨迹的任意位置 上有一个速度 。我们可以站在平面的 上看待速度 ，用一个二维向量表示它。而实际上更有意义的是把它看成 上的一个切向量，因为若以时间 为参数，质点的运动轨迹就是 而切向量 。这些都是我们在中学熟知的。

按照过去的理解：

而速度向量是把 从原点平移到 上的。那么平移的数学表达是什么呢？我们容易想到：

是什么？它是 的一个点？还是一个向量？

真的属于 吗？

我们不得不怀疑 和 可以相加吗？从量纲上看，不可以。可是为什么我们在中学又非常老练地做向量平移呢？

如果这些问题不能解答，向量平移就算有明确的几何直观也是有问题的。

切丛和余切丛

微分几何重视内蕴的性质。现在抛开陈见，把位置 和速度 分开考虑，让它们分别属于两个独立集合，建立一个二元组

这种表达已经和 无关了，它是一种内蕴的表达。切空间 是建立在点 上的，这意味着不同的点上建立的切空间可以不同，这也是一种映射

那么对于所有的 建立映射，得到一个结构 ，这个结构可以逐点**投影 (projection) **为一个切空间：

以微分流形 为底，在它的每一点 上生长出一个切空间 ，切空间中的切向量就像纤维一样从点 上长出来，微分流形 上的切空间总体上构成了一个纤维丛 (fibre bundle)，由于生长出来的是切空间，称其为切丛 (tangent bundle)，显然还可以类似定义余切丛 (cotangent bundle)。

于是，二元组成为切丛的元素

这里的底空间 是 维流形，只需要 维的局部坐标系就可以坐标化，物理上相当于自由度为 。这种表达方式称为广义坐标 (generalized coordinates)。切向量 则称为广义速度 (generalized velocity)。

纤维丛

只考虑实域上的丛。令 为拓扑空间，其上的准向量丛 (quasi-vector bundle)：

i. ，有一个有限维实向量空间

ii. 这些向量空间的不交并 上有一个拓扑，诱导出各个向量空间上的自然拓扑，切满足投影 (projection) 映射 是连续的

如果通过乘积拓扑 (product topology)，令 ，可以在 上构造准向量丛 ，则称其为平凡向量丛 (trivial vector bundles)。

一个准向量丛，如果可以局部地与一个平凡向量丛同构，则称为向量丛。

回到实空间：平凡向量丛

现在可以回过来讨论为什么 上讨论一个切向量的平移是如此直观的事情了。在一般的微分流形 的切丛 上，二元组

可以理解为

而拆开看 ，并不存在 这种不在一个空间的加法。

倘若 ，也就是所谓**平凡 (trivial) **的情况。我们发现在任何点上的切向量都相似于实空间

我们选择符号 代表这里有一个自然坐标系，而前面用的 往往代表广义坐标。用实空间的自然坐标可以同时可以自然描述这个切空间，此刻切空间 和底流形 同构了，连坐标系也重合了。于是它们幸福地合体了。

这种切空间和底流形的合体，对每一点 都是成立的，于是每一点上的切空间也是可以合体的，导致整个切丛等同于代数上的直积：

再回头看上面讲的平凡纤维丛的定义，可以体会什么叫做平凡。 太平凡了，使得我们从来没有觉得在！[公式] (opens new window) 上讨论一个切向量的平移有任何不妥。

流形上的光滑映射

微分流形间的光滑映射

可以诱导出两个点的切空间之间的微分映射 (differential map)：

也可以诱导出两个点的余切空间之间的拉回映射 (pullback)：

注意拉回映射 的方向与 相反，以此得名。

由于切空间和余切空间对偶， 规定以上两个映射的条件是：

实际上，微分流形间的光滑映射 所诱导的：

若考虑点 的运动，则构成纤维丛上的映射：