数学物理笔记

jokervTv 2021/8/18 数学物理

广义坐标与广义速度
最小作用量原理
Euler-Lagrange 方程
满足 Euler-Lagrange 方程的 Lagrange 量
Legendre 变换
Hamilton 力学
Hamilton 量
Hamilton 方程
Poisson 括号
能量守恒
Hamilton 方程的复形式

# 广义坐标与广义速度

我们只讨论 $n$ 个有限自由度的力学系统。既然是自由度，相互之间就是独立变量，故可以用线性空间 $M \sim \mathbb{R}^n$ 作为基础的坐标空间，称为位形空间（configuration space），其中的向量 $\{q_i\} \in M$ 称为广义坐标（generalized coordinates）。

这里需要注意，空间中无约束的单质点系统的自由度为 $n=3$ ，那么 $N$ 个这样的质点构成的系统的自由度为 $n=3N$ 。然而由于约束的存在，实际的系统自由度 $n$ 可能是任何可能的正整数值。

在给定时刻，广义坐标 $q=\{q_i\} \in M$ 给出了系统的位置。同时需要考虑广义速度（generalized velocity)：

$\dot{q}=\frac{d q}{d t}=\left\{\frac{d q_{i}}{d t}\right\}$

广义坐标和广义速度构成一个向量 $(q,\dot q) \in TM \sim \mathbb{R}^{2n}$ ，它描述了系统的状态，这个向量所在的空间 $TM$ 称为位形空间（state space），它与 $\mathbb{R}^{2n}$ 相似。回忆上一讲，位形空间是一个切丛。

# 最小作用量原理

光滑流形 $M$ 的切丛上定义的实值函数全体记为

$C(TM)$

Lagrange 量（Lagrangian，拉式量） $L \in C(TM)$ 是其中一类函数：

$TM\to\mathbb{R}$

$(q,\dot{q}) \mapsto L(q,\dot{q})$

其中 $\{q_i\}$ 为局部坐标系。**作用量 (action) **定义为

$S(L)=\int_{t_0}^{t_1}L(q,\dot{q},t)dt$

这是拉式量在时间段上的定积分。它也可以视为泛函 (functional)，其作用相当于把函数映射到域的算子

$C(TM) \mapsto \mathbb{R}$

$L \mapsto S(L)$

在 $C(TM)$ 中，能描述力学系统真实运动的拉式量 $L$ 需要满足Hamilton 最小作用量原理 (Hamilton's principle of least action)，

$\delta S=0$

以及边界条件 $\delta q(t_0) = \delta q(t_1) = 0$ 。

这里使用的符号 $\delta$ 类似于微分 $d$ ，为了突出是函数本身（作为函数空间中的元素）的变化而不是自变量（作为函数的映射源）的变化，叫做变分 (variation)。所谓函数本身的变化，理解为函数作为一个映射的映射方式在变化，这种变化无关自变量和定义域。

变分法是数学的一个分支，我们暂不详谈，具体可参考 Hilbert 和 Courant 著名的大部头的数学物理方法。变分法的推导涉及函数空间上的度量拓扑，以后在泛函分析相关的讲义中还会详谈。

# Euler-Lagrange 方程

前面给出了一个原则：能描述力学系统真实运动的拉式量 $L$ 需要满足 Hamilton 最小作用量原理，它是物理定律，不需要被证明。后面我们会发现这一原则与 Newton 运动定律是等效的。（Hamilton 最小）作用量原理表达为变分的形式，这在数学上是难以处理的。下面我们给出原理的等效的** Euler-Lagrange 方程**形式，它是一个更简洁的微分方程形式。

注意：我们是在切丛 $TM$ 讨论问题，需要抛开陈见。坐标 $\{q_i\}$ 就是坐标，速度 $\{\dot{q}_i\}$ 就是速度，虽然二者有时间 $t$ 联系，但在切丛中是两个独立变量。

推导主要靠分部积分法，在 Arnold 的经典力学的数学原理中有详细过程。

当最小作用量原理满足时：

$\int_{t_0}^{t_1}\Big[L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)-L(q,\dot{q},t)\Big]dt=0$

$\int_{t_0}^{t_1}\Big[\delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\Big]dt=0$

这种情况仅当以下条件满足时成立：

$K=K_1+K_2=\delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$

既然

$\delta \dot{q}=\delta\frac{dq}{dt}=\frac{d\delta q}{dt}$

则

$K_2=\delta \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{d\delta q}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$

然后

$\int K_2dt=\int \frac{d\delta q}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}dt=\int \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\delta q$

$=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q-\int \delta qd\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$

$=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q-\int \delta q\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}dt$

因而

$\int_{t_0}^{t_1} K_2dt=\Big[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\Big]_{t0}^{t1}-\int_{t0}^{t1} \delta q\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}dt$

根据边界条件，第一项消去

$\int_{t_0}^{t_1} K_2dt=-\int_{t0}^{t1} \delta q\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}dt$

且

$\int_{t_0}^{t_1}\Big[\delta q\frac{\partial L}{\partial q}+\delta \dot{q}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\Big]dt$

$=\int_{t_0}^{t_1}\delta q\frac{\partial L}{\partial q}dt-\int_{t0}^{t1} \delta q\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}dt$

$=\int_{t_0}^{t_1}\Big[\delta q\frac{\partial L}{\partial q}-\delta q\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\Big]dt$

$=\int_{t_0}^{t_1}\delta q\Big[\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\Big]dt$

$=0$

它仅当

$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$

时成立，这个条件称为Euler-Lagrangian 方程或 E-L 方程。

看到这里可能眼花了，没事。记得最小作用量原理是从天而降的，没有比它更本质的道理。光在介质中的路径，作为一个广义坐标的轨迹 $(q(t),\dot{q}(t))$ ，也是要满足最小作用量原理的。最小作用量原理所以正确，是因为根据这个原理推出来的 Euler-Lagrange 方程，在自然坐标中和 Newton 运动定律等效。刚才我们讨论的切丛、作用量、E-L 方程统称 Lagrange 力学。

# 满足 Euler-Lagrange 方程的 Lagrange 量

我们所能够见到最简单的 Lagrange 量和机械能密切相关。在自然坐标系中，动能 $T(\dot{q}) = \frac{1}{2}m\dot{q}^2$ 是速度 $\dot{q}$ 的单变量函数，保守势能 $V(q)$ 是坐标 $q$ 的单变量函数。所谓保守势，大体上是指质点运动时受到的作用力完全来自势能 $V(q)$ 的梯度。定义

$L(q,\dot{q})=T(\dot{q})-V(q)=\frac{1}{2}m\dot{q}^2-V(q)$

我们可以用 E-L 方程自行验证它就是一个 Lagrange 量。

在中学熟知的 Newton 运动定律之外学习等效的 Lagrange 力学的意义在于。首先，它的形式体系了自然界中省力的原则，作用量小往往意味着作用路径短；其次，拉氏量本身值得研究，在后面讲到 Legendre 变换以后就清楚了；最后，它是 Feynman 路径积分的基础，于是在量子场论中成为核心工具。

# Legendre 变换

这一讲的内容来自过去的一个回答。分析力学系列完成后，会在这个基础上重新整理。本文先占个坑，以便后面继续推进。Arnold 的经典力学的数学原理相关章节是不错的延伸阅读材料。

通过 Legendre 变换联系了对偶的切丛和余切丛，重要的结果是让 Lagrange 力学变成了 Hamilton 力学。在任何一本分析力学上都会给出详细介绍。这一讲我们主要站在中学物理的角度来理解 Legendre 变换。中学物理中的动量定义为 $p=mv$ 。

在了解分析力学之前，我一直认为动量是个无聊的东西，就像中学物理定义了很多无聊的物理量一样（由于中学缺乏简洁的数学语言），动量 $p$ 只是附着在速度 $v$ 上的衍生物。通过 Legendre 变换可以改变这种观点。从中学可以理解的道理来看，Legendre 变换给予了动量一个和速度平等的地位，而不是速度的附属物。

动能写为能量对速度的函数：

$T(v)=\frac{mv^{2}}{2}$

它是凸函数，满足 Legendre 变换的条件，开始求它的对偶函数 $T^{*}$ ：

给定斜率 $p$ （故意的，故意用这个字母）：

$F(p)=pv-T(v)=pv-\frac{mv^{2}}{2}$

对偶函数：

$T^{*}(p)=max\{F(p)\}=max\{pv-\frac{mv^{2}}{2}\}$

其中 $F(p)$ 的极值条件是：

$\frac{\partial F}{\partial v}=\frac{\partial (pv-\frac{mv^{2}}{2})}{\partial v}=p-mv=0$

于是极值条件成为

$v=p/m$

是不是很熟悉？把极值条件代入，得到对偶函数

$T^{*}(p)=\{pv-\frac{mv^{2}}{2}\}\vert_{(v=p/m)}=\frac{p^{2}}{2m}$

再和 Legendre 变换前的函数比较一下：

$T(v)=\frac{mv^{2}}{2}$

我们为 Legendre 变换的新函数所选择的变量 $p$ 就是动量，这是极值条件所联系的，而两个对偶函数从两个相互对偶的不同物理量中给出了同一个能量表达。

如果从 $T^{*}(p)=\frac{p^{2}}{2m}$ 再做一次 Legendre 变换，以 $v$ 为变量名称，我们仍然得到：

$T^{**}(v)=\frac{mv^{2}}{2}=T(v)$

中学物理到这里，更进一步，以上的变换过程可以让我们体会到 Legendre 何以建立了切丛和余切丛的联系，切丛为何是广义速度，余切丛为何是广义动量，以及 Hamilton 量和 Lagrange 量的那种关系：

$H=\sum_{}^{}{p\dot{q}}-L$

现在看是否似曾相识？

相空间 (phase space=cotangent bundle on space) 上的，拉格朗日函数是定义在位型空间 (configuration space=tangent bundle on space) 上的。这样理解对么？能否通过 Legendre 变换与这两个空间联系起来

Lagrange 力学~切丛~位型空间~广义速度~中学物理速度

通过 Legendre 变换得到

Hamilton 力学~余切丛~相空间~广义动量~中学物理动量

# Hamilton 力学

量子力学最基础的** Schrödinger 方程**大体上讲的是

粒子在势场 $V(r)$ 中运动，令** Hamilton 算符**为： $H=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r)$ 则 Schrödinger 方程写为： $i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = H\psi$

我们在今后会在量子力学中详细讲这个 Schrödinger 方程的来龙去脉。现在我们以微分几何和分析力学为主。我们注意到 Schrödinger 方程中出现了势场和 Hamilton 算符。实际上可以说，Schrödinger 方程就是 Hamilton 力学方程在波函数世界的类比。学好 Hamilton 力学，将来再学习量子力学就有了充分的知识储备。

# Hamilton 量

Hamilton 力学可以从前面的 Lagrange 力学，通过 Legendre 变换推出，具体请参考：

在自然坐标系中，动能 $T(\dot{q})$ 是速度 $\dot{q}$ 的单变量函数，保守势能 $V(q)$ 是坐标 $q$ 的单变量函数。Lagrange 量是位置和速度的函数：

$L(q, \dot q)$

其对时间的导数为：

$\frac{dL}{dt} = \frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q^i + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q^i$

由于根据 E-L 方程：

$\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$

得到：

$\frac{dL}{dt} = \Big( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \Big) \dot q^i + \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q^i = \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \dot q^i \Big)$

这里出现的表达式定义为共轭动量 (conjugate momentum)：

$p^i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$

经过 Legendre 变换得到以下函数场

$T^*M \to \mathbb{R}$

$(q,p) \mapsto H(q,p) = T(p) + V(q)$

称为 Hamilton 量。这里的余切丛 $T^*M$ 称为相空间 (phase space)。

解读。在 Lagrange 力学中，动能函数表达为速度 $\dot{q}$ 的函数，而经过 Legendre 变换，动能函数成为动量 $p$ 的函数。在自然坐标系中就很好理解：

$T(\dot{q}) = \frac{m\dot{q}^2}{2} = \frac{p^2}{2m} = T(p)$

Hamilton 量写为动能和势能之和的形式，表示 Hamilton 量就是保守力学系统的总机械能。

# Hamilton 方程

E-L 方程在相空间的表现形式是对等的 Hamilton 方程

$\begin{cases} \frac{\partial H}{\partial p^k} = \dot{q}_k \\ \frac{\partial H}{\partial q_k} =- \dot{p}^k \end{cases}$

详细的推导是利用变分关系对 Lagrange 量求导数得到的，请参考相关文献。接下来我们用 Poisson 括号从能量上阐明 Hamilton 方程的意义。

# Poisson 括号

考虑相空间 $(q,p)$ 上对时间 $t$ 的微分算子：

$\frac{\partial}{\partial t} = \sum_{k=1}^{n} \Big( \dot{q}^k \frac{\partial}{\partial q^k} + \dot{p}^k \frac{\partial}{\partial p^k} \Big)$

若有 Hamilton 量 $H$ ，则可以代入 Hamilton 方程得到：

$\frac{\partial}{\partial t} = \sum_{k=1}^{n} \Big( \frac{\partial H}{\partial p_k} \frac{\partial}{\partial q^k} - \frac{\partial H}{\partial q_k} \frac{\partial }{\partial p^k} \Big)$

于是，给定场函数 $A(q,p):T^*M \sim \mathbb{R}^{2n} \to \mathbb{R}$ 有

$\frac{\partial A}{\partial t} = \sum_{k=1}^{n} \Big( \frac{\partial H}{\partial p_k} \frac{\partial A}{\partial q^k} - \frac{\partial H}{\partial q_k} \frac{\partial A}{\partial p^k} \Big)$

这个导数仍然是场函数。令余切丛 $T^*M$ 上的光滑函数集合为 $C^\infty(T^*M)$ ，则可以构造二元运算如下：

$C^\infty(T^*M) \times C^\infty(T^*M) \to C^\infty(T^*M)$

$\{ F,G\}= \sum_{k=1}^{n} \Big( \frac{\partial F}{\partial q^k}\frac{\partial G}{\partial p_k} - \frac{\partial F}{\partial p^k} \frac{\partial G}{\partial q_k} \Big)$

这就是 Poisson 括号。Poisson 括号给出了相空间的标量场之间的封闭的二元运算。在量子力学中，这种运算相当于对易子，它和著名的 Heisenberg 测不准原理有重要关系。

# 能量守恒

我们用 Poisson 括号来探讨一下能量守恒问题。前面看到，Hamilton 量写为保守力学系统的总机械能形式：

$H(q,p) = T(p) + V(q)$

机械能守恒可以表达为机械能不随时间变化：

$\frac{\partial H}{\partial t} = 0$

借助前面在定义 Poisson 括号时引入的复合导数公式，相空间 $(q,p)$ 上的函数对时间的复合导数算子可以写为：

$\frac{\partial}{\partial t} = \sum_{k=1}^{n} \Big( \dot{q}^k \frac{\partial}{\partial q^k} + \dot{p}^k \frac{\partial}{\partial p^k} \Big)$

那么

$\frac{\partial H}{\partial t} = 0 = \sum_{k=1}^{n} \Big( \dot{q}^k \frac{\partial H}{\partial q^k} + \dot{p}^k \frac{\partial H}{\partial p^k} \Big)$

注意到上式若需要成立，则对任意一组指标 $(q_i,p^i)$ 都需要满足

$\dot{q}^k \frac{\partial H}{\partial q^k} + \dot{p}^k \frac{\partial H}{\partial p^k} = 0$

代入 Hamilton 方程

$\frac{\partial H}{\partial p^k} = \dot{q}_k$

可见这一条件得到满足，于是可以验证 Hamilton 量即能量的守恒。

# Hamilton 方程的复形式

在前面高等线性代数的系列中，我们讨论了与复数相关的线性结构，涉及到 symplectic 内积和 Hermit 内积，它们反映了一种对偶的结构

为了更好理解 Hamilton 方程所反映的对偶性质，现在我们给出它的复形式。考虑相空间 $(q,p)$ 上的 Hamilton 方程

$\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

用同构的复空间表达，令 $z=q+ip$ ，于是 $\bar{z}=q-ip$ ，注意

$z+\bar{z}=2q, z-\bar{z}=i2p$

有

$\frac{\partial q}{\partial z} = \frac{1}{2},\frac{\partial q}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}$

$\frac{\partial p}{\partial z} = -\frac{i}{2},\frac{\partial p}{\partial \bar{z}} = \frac{i}{2}$

于是：

$\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial q}{\partial z}\frac{\partial}{\partial q} + \frac{\partial p}{\partial z}\frac{\partial}{\partial p} = \frac{1}{2} \big ( \frac{\partial}{\partial q} - i\frac{\partial}{\partial p} \big )$

$\frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial q}{\partial \bar{z}}\frac{\partial}{\partial q} + \frac{\partial p}{\partial \bar{z}}\frac{\partial}{\partial p} = \frac{1}{2} \big ( \frac{\partial}{\partial q} + i\frac{\partial}{\partial p} \big )$

将相空间转为复空间，代入 Hamilton 方程

$\dot{z}=\dot{q}+i\dot{p}=\frac{\partial H}{\partial p}-i\frac{\partial H}{\partial q} =\Big( \frac{\partial}{\partial p}-i\frac{\partial}{\partial q} \Big)H$

于是 Hamilton 方程有以下的复形式：

$\dot{z} = -2i \frac{\partial H}{\partial \bar{z}}$

粒子在复相空间上对时间求导，相当于相曲线上的切速度向量。

回顾复相空间的引入。我们要注意这里非常深层的考虑。线性空间及其对偶空间是成对出现的，而 $\mathbb{R}^{2n} \sim \mathbb{C}$ ，这启示我们凡是具有对偶的 $n$ 维实问题都可以考虑放在 $n$ 维复空间中研究。复形式的 Hamilton 方程只是一个发端的例子。分析力学的后继概念大体上都和这个对偶结构有关，也就是有名的 Hamilton 系统的辛结构问题。

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