常微分方程初值问题的数值解法的一些基本概念

常微分方程初值问题的数值解法的一些基本概念

• 一般 m 阶常微分方程
• 步长
• 线性多步法
• 单步法
• 阶
• 相容
• 收敛
• 整体截断误差
• 局部截断误差
• 主局部截断误差

一般 m 阶常微分方程

一般 $m$ 阶常微分方程的形式为

$$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(m)}) = 0 \tag{1}$$

如果方程 $(1)$ 能写成

$$a_m y^{(m)} + a_{m-1}(x) y^{m-1} + \cdots + a_0(x) y = g(x)$$

则它是 $m$ 阶线性方程（其中 $a_m \neq 0$）

如果方程 $(1)$ 能写成

$$y^{m} = F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(m)-1})$$

则称方程为显式方程。

步长

如果初值问题在区间 $[x_0, b]$ 上的离散解，引入点列 ${x_n}$ 满足

$$x_n = x_{n-1} + h_n \qquad (n = 1,2,\cdots)$$

其中 $h_n > 0$ 称为步长， $x_n$ 称为节点。亦有等步长情况：

$$x_n = x_0 + n h$$

线性多步法

如果确定序列 $\{y_n\}$ 的一个计算方法是由 $y_{n+j}$，$f_{n+j}$ 的线性关系所组成，即

$$\sum_{j=0}^{k} a_j y_{n+j} = h \sum_{j=0}^{k} \beta_j f_{n+j}$$

则此方法称为 $k$ 步的线性多步法，其中，设 $a_k \neq 0$，且 $a_0, \beta_0$ 两者不能全为 0。

可变形为

$$\begin{aligned} y_{n+k} = &- a_0 y_n - a_1 y_{n+1} - \cdots - a_{k-1} y_{n+k-1} \\ &+ h(\beta_0 f_n + \beta_1 f_{n+1} + \cdots + \beta_k f_{n+k}) \end{aligned}$$

若 $\beta_k=0$ 则称之为显式线性多步法，若 $\beta \neq 0$ 则称之为隐式线性多步法。

单步法

$$y_{n+1} = y_n + h\phi(x_n,y_n,y_{n+1},h)$$

若函数 $\phi$ 不显含 $y_{n+1}$ 则称之为显式单步法，若函数 $\phi$ 显含 $y_{n+1}$ 则称之为隐式单步法。

阶

若显式单步法的某一种方法满足

$$y(x+h) - y(x) -h\phi(x, y(x), h) = O(h^{p+1})$$

的最大整数 $p$ 称为该方法的阶。

相容

若

$$\phi(x,y,0) = f(x,y)$$

则称该方法与初值问题相容

若利用泰勒公式展开，则与初值问题相容的方法至少是一阶方法。

收敛

$$\lim \limits_{h \to 0, n \to \infty} = y(x)$$

则称该方法收敛。

::: tips 在实际使用的方法中，应该是相容和收敛的 :::

整体截断误差

$$e_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_{n+1}$$

称为数值方法在 $x_{n+1}$ 点的整体截断误差。

局部截断误差

$$T_{n+1} = y(x_{n+1}) - y(x_n) - h \phi(x_n, y(x_n), h)$$

称为方法在 $x_{n+1}$ 点的局部截断误差。

主局部截断误差

如果方法是 $p$ 阶方法，则局部截断误差可以写成

$$T_{n+1} = \psi(x_n, y(x_n) h^{p+1}) + O(h^{p+2})$$

则称 $\psi(x_n, y(x_n) h^{p+1})$ 为方法在 $x_{n+1}$ 的主局部截断误差。